La Transición de las Matemáticas de Primaria
Para ayudar a los estudiantes en la transición de las matemáticas de primaria a matemáticas más avanzadas necesitamos apoyarlos a que desarrollen formas más poderosas y generales para entender las ideas matemáticas fundamentales.

Secciones

Introducción | Acercamientos que se "Rompen" | Sí puedes resolver 4 – 6 | Los Modelos Multiplicativos de Sumas Repetidas Dejan de Funcionar | La "X" Pasa a ser de Incógnita a Variable | Aparecen Problemas sobre Orden de Operaciones | Las Matemáticas Dejan de Conectarse con Experiencias Significativas | Enlaces Relacionados | Derechos de Autor

 

Introducción

Gran parte de las dificultades a las que se enfrentan los estudiantes durante la transición de las matemáticas de primaria a matemáticas más avanzadas no se encuentran en la falta de pensamiento abstracto, sino que tienen que ver más con la manera en la que los estudiantes razonan las matemáticas que les han enseñado durante la primaria y cómo estos razonamientos se "rompen", o dejan de funcionar, cuando los estudiantes llegan a matemáticas más avanzadas. Necesitamos dar mayor apoyo para que, durante en la transición de las matemáticas más allá de la primaria, los estudiantes desarrollen más y mejores maneras que les permitan dar sentido a las ideas matemáticas fundamentales (al mismo tiempo en el que debemos actualizar la identificación de cuáles son estas ideas fundamentales para la educación primaria).

Acercamientos que se "Rompen"

Una lista ilustrativa de algunos de los acercamientos de primaria que se "rompen", o dejan de funcionar, y que se vuelven problemáticos para los estudiantes durante su trancisión al álgebra, incluyen:

  • Sí se puede resolver 4 – 6
  • Los modelos de multiplicación como sumas repetidas dejan de funcionar (Por ejemplo, 3/4 * 2/3 = ? ó 3 m/seg * 4 seg = ?)
  • La “x” cambia de ser un valor desconocido a una variable (Por ejemplo, como parte de la función Y=2x)
  • Aparecen problemas relacionados con el orden de operaciones:  3(x+2) (¿Se resuelve primero el paréntesis, o la multiplicación?)
  • Las matemáticas dejan de estar conectadas a experiencias significativas

Se puede resolver 4 – 6

En el plan de estudios de primaria la resta, o sustracción, se asocia con "quitar una cantidad de otra". La mayoría de los estudiantes de primaria dirían que no se puede realizar la resta 4 - 6 porque "no se pueden quitar seis a cuatro cosas." Sin embargo, a la hora de pasar a matemáticas más avanzadas, se les indica a los estudiantes que sí se puede resolver 4 - 6. No se les da a los estudiantes el tiempo suficiente para que puedan desarrollar nuevas formas de razonar acerca de la resta. Aún así, se espera que los estudiantes puedan resolver este tipo de restas sin actualizar su pensamiento.

¿Qué puede ayudar?

Hay varios tipos de manipulativos "caseros" y también comerciales que pueden ayudar en esta transición. Incluso, hay "manipulativos virtuales" que funcionan como sus contrapartes físicos. Muchos de estos manipulativos enfatizan el papel del inverso aditivo y el cero como elemento identidad (+1 + -1 = 0). Típicamente, un azulejo de un color representa una unidad positiva y un azulejo de otro color representa una unidad negativa, y juntos representan "el cero". Si dos (o más) combinaciones de cero se suman a cuatro azulejos positivos el número representado sigue siendo cuatro, pero ahora es posible quitar seis azulejos positivosy terminar con dos azulejos negativos (4 - 6 deja -2).

Para ver un ejemplo de un manipulativo virtual para explorar la resta de enteros.

puedes ir al siguiente enlace para encontrar la Biblioteca Nacional de Manipulativos Virtuales para Matemáticas Interactivas que fue creada con el apoyo de la National Science Foundation.

Nota: Es muy importante que los estudiantes puedan distinguir entre operaciones entre números, como la adición y sustracción (o "resta") (que se ilustra al incluír or quitar azulejos), y el signo positivo o negativo como un atributo de los números (como se ilustra con el color de los azulejos). En muchas ocasiones, como maestros, utilizamos el término "menos" para referirnos a un número negativo; como por ejemplo, describir 4 – -3 com "cuatro menos menos tres." Es importante crear el hábito, tanto en estudiantes como en maestros, de ser explícitos en distinguir entre el signo (+/-) y las operaciones: por ejemplo, "cuatro positivo (aunque no se escriba el signo) menos tres negativo". Las calculadoras gráficas tienen cuidado de reforzar esta distinción -pues hay dos botones diferentes para resta y negativo- y dan un mensaje de error si un estudiantes escribe 4 – –3. De hecho, la mayoría de los errores que los estudiantes reciben al utilizar la calculadora gráfica tienen que ver con esta distinción y frecuentemente se puede identificar la causa al descuido de no distinguir entre el signo y la operación. Utilizando los azulejos en la aplicación, los estudiantes pueden observar los patrones que se forman si empiezan con cuatro azulejos positivos y despúes incluyen tres ceros (pares de azulejos positivos y negativos), cuando restan (quitan) las tres partes negativas de los ceros se quedan con los tres azulejos positivos. Así que con un poco de práctica, los estudiantes pueden empezar a ver patrones como el que cuatro positivo menos tres negativo es equivalente a sumar tres azulejos positivos (que van a sobrar de los ceros originales). Gracias a esta equivalencia, los estudiantes pueden empezar a entender por qué 4 – -3 es equivalente a 4 + +3. Es importante tomar el tiempo para que los estudiantes puedan hacer este tipo de distinciones e ilustren estos patrones de equivalencia; y los beneficios se conseguirán a corto y largo plazo.

Los Modelos de Multiplicación como Sumas Repetidas Dejan de Funcionar

Una manera de pensar acerca de la multiplicación es tratándola como "sumas repetidas". 2 x 3 = 6 puede pensarse como dos grupos de tres cosas o sumar tres dos veces (3 + 3 = 6).  Este acercamiento puede ser útil cuando los estudiantes empiezan a aprender el concepto de mutliplicación en la Primaria, pero puede causar problemas en el futuro si es la única manera en la que entienden la multiplicación.

Una forma en la que este modelo deja de funcionar es al multiplicar fracciones. Por ejemplo, ¿qué tipo de "sumas repetidas" puden explicar el significado de 3/4 * 2/3 ?  ¿¡¿"Sumar 2/3 a sí mismo 3/4 veces" o "combinar 2/3 grupos de 3/4 cosas"?!? Los estudiantes se preguntarán confundidos, ¿qué significa todo esto?

¿Qué puede ayudar?

La multiplicación como sumas repetidas es una forma de entender este concepto que sirve en algunos contextos, pero otra manera de entender la multiplicación más poderosa, y que puede ayudar con muchos otros conceptos matemáticos más avanzados, es LA MULTIPLICACIÓN COMO ÁREA. 2 x 3 = 6 es un rectángulo con un lado de dimensión dos, y el otro lado de dimensión tres, y un área total de seis. (También se puede empezar con el área y uno de los lados para explorar el modelo y el concepto de división para encontrar la dimensión del "otro" lado).

Como se ilustra a continuación, el modelo de área puede ayudar a que los estudiantes entiendan la multiplicación de fracciones, por ejemplo, 3/4 * 2/3 = 6/12 (que se puede simplificar a½).

Este manipulativo virtual,

se encuentra en la Biblioteca Nacional de Manipulativos Virtuales para Matemáticas Interactivas desarrollado con apoyo de la National Science Foundation.

El modelo de área puede ayudar a los estudiantes a ver que la multiplicación puede transformar las unidades. Por ejemplo, 2 metros/segundo * 3 segundos = 6 metros. (El modelo de "sumas repetidas" no resuelve el manejo de las unidades. 2 grupos de 3 manzanas da como resultado una respuesta en términos de manzanas).

Y, finalmente, en contextos algebraicos (como se explicará a mayor detalle a continuación) no existe un número de veces que se pueda sumar a la x para que resulte en x^2 [Por ejemplo, ¿¿x + x + x … ?? = ¿¡¿x^2 ?!?].  Entonces, ¿cómo pueden entender los estudiantes por qué x * x = x^2?  El modelo de área es muy útil para entender cómo una figura con un lado de dimensión x y otro lado con dimensión x resulta en un área igual a x cuadrada (el área de un cuadrado de "x^2”).

La “X” Pasa de ser Incógnita a Variable

En la escuela primara (y en muchas ocasiones, al inicio de cursos de álgebra), la "x" es tratada sólo como "incógnita". No sabemos qué valor toma la x (o cuadro vacío), pero si trabajamos lo suficiente, entonces podremos encontrar el (único) valor que toma.

Posteriormente, sin mayor explicación, la x de pronto puede sustituír a una variable y puede utilizarse, como ejemplo, en una función como Y = x. Si esta función se escribe en la calculadora gráfica,

se obtiene algo similar a la gráfica siguiente , .  Si, como estudiante, se ha aprendido que la x es sólo un parámetro para un valor desconocido, entonces gran parte del contenido de cursos de álgebra y posteriores podrían ser muy confusos.

¿Qué puede ayudar?

El énfasis de un enfoque del álgebra basado en funciones (ABF) puede ser de gran ayuda. Desde este enfoque, la X se convierte en una variable que puede asumir muchos valores. Y = x es un tipo (simple) de funciones en donde cualquier valor que se introduce a la función da como resultado el mismo valor. Si se grafican los "resultados" de esta máquina simple de entrada-salida se obtiene una línea recta similar a la que aparece en la gráfica anterior. La X describe todos los números que se pueden introducir en la máquina. Además, X es la "variable" y más aún, en este caso, es la variable (la colección de valores que se introducen en la máquina de funciones) independiente (el valor de entrada).

Aparecen Problemas sobre Orden de Operaciones

Muchos estudiantes aprenden que para realizar las operaciones al simplificar una expresión se debe seguir el siguiente orden: paréntesis, exponentes, multiplicación, división, suma y resta. Esta regla puede causar confusiones en álgebra. Para simplificar la expresión 3(x+2), ¿qué se hace primero? ¿Lo que está dentro del paréntesis (¿cuánto da x+2? Y después, ¿se multiplica? O, ¿primero se multiplica (aunque tengamos una expresión dentro del paréntesis)? Frecuentemente, los estudiantes tratarán de combinar x + 2 obtienen ¿...? ... 2x o simplemente, 2 (puesto que lo primero que quieren resolver es lo que está dentro del paréntesis) y después multiplicar, por lo que incorrectamente obtienen 6x ó 6. En este caso, los estudiantes están tratando genuinamente de extender lo que han aprendido sobre el orden de operaciones de una forma que no funciona. Necesitamos apoyar a los estudiantes para que puedan desarrollar formas más poderosas de pensar sobre la simplificación de expresiones, sobretodo una vez que aparecen variables como la x.

¿Qué puede ayudar?

El modelo de mutliplicación con áreas puede ser de utilidad para estos casos. Un lado del rectángulo tiene una altura de 3 unidades y el otro lado tiene una base de x + 2 unidades de ancho (ver figura a continuación). 

Cuando los estudiantes exploran la multiplicación con este tipo de manipulativos pueden empezar a ver que el área (el producto) tiene 3 x's (3 barras rosas de dimensión x) y seis azulejos unitarios (6 azulejos verdes de tamaño fijo), en donde las barras con valor x pueden variar de tamaño al mover el deslizador rosa (en la parte inferior de la imagen). No importa el tamaño de la (variable) x, pues el área siempre será 3x + 6. También se puede utilizar este manipulativo para explorar productos más complejos, como x * x (para obtener x^2) ó (x+3)(x+1) para obtener x^2++3x+1x+3, que se simplifica a x^2+4x+3. Este acercamiento se construye con un modelo de multiplicación relacionado con áreas. Este modelo también puede ayudar a razonar mejor sobre de la factorización [Por ejemplo, al trabajar de la expresión x^2 + 4x + 3 para obtener el valor de los "lados" (x+3) and (x+1) ].

Desde aquí puedes acceder el interactivo

de la Biblioteca Nacional de Manipulativos Virtuales para Matemáticas Interactivas desarrollada con el apoyo de la National Science Foundation.

Las Matemáticas dejan de Conectarse a Experiencias Significativas

Quizá el cambio más dramático y dañino que se produce al pasar de las matemáticas de primaria a matemáticas más avanzadas es que creemos que los estudiantes no necesitan relacionar las matemáticas dentro de la la clase con sus experiencias personales fuera de clase. Existen maneras de entender las matemáticas, por ejemplo, la resta como "quitar una cantidad a otra", que dejan de funcionar en matemáticas más avanzadas, y lamentablemente no damos a los estudiantes las herramientas que necesitan para desarrollar nuevas formas de razonar. Al no proveer a los estudiantes de experiencias matemáticas que sean significativas, dejan de ver a las matemáticas como algo que pueden entender y, por lo tanto, les cuesta demasiado trabajo al transicionar a matemáticas más avanzadas.  

El hecho de que las matemáticas más avanzadas son más abstractas no significa que los estudiantes dejen de comprender estas abstracciones. En algunas ocasiones se pueden utilizar herramientas físicas (o virtuales) para que los estudiantes tengan experiencias que les permitan hacer sentido de estas abstracciones, pero como se discutió anteriormente, hay acercamientos que tienen gran alcance, como el acercamiento al álgebra basado en funciones apoyándose de las calculadoras gráficas. Científicos e investigadores que trabajan con los cuestionamientos humanos más abstractos hacen uso frecuente de herramientas computacionales poderosas o experimentos físicos muy complejos para poder hacer sentido de estos retos. Por lo tanto, en la enseñanza de las matemáticas, debemos proveer a los estudiantes con expriencias y herramientas para que puedan reconocer patrones y desarrollar sus propios pensamientos. Si las matemáticas toman sentido, entonces los estudiantes aprenderán más y mejor.

Enlaces Relacionados

  • ¿Qué es el Álgebra Basada en Funciones (ABF)? - El acercamiento al Álgebra Basada en Funciones (ABF) va más allá de las meras representaciones y la modelación matemática. Gran parte del álgebra que tradicionalmente se enseña en las escuelas se centra en tres ideas fundamentales: equivalencia, igualdad (como un tipo de comparación de funciones), y aspectos claves sobre las funciones lineales. El Álgebra Basada en Funciones puede ayudar con estas tres ideas.
  • Biblioteca Virtual de Manipulativos Virtuales - La Biblioteca Virtual de Manipulativos Virtuales es un proyecto que inició en 1999, apoyado por la National Science Foundation. El objetivo de este proyecto fue el de desarrollar una biblioteca meramente interactiva y basada en la red, que incluyera manipulativos virtuales o tutores sobre conceptos relevantes, en su mayoría en la forma de applets de Java, para la instrucción de las matemáticas en grados desde pre-escolar a preparatoria (K-12).

Derechos de Autor

Autor: Walter M. Stroup

URL: http://generative.edb.utexas.edu/mexico/ABFTrans/Espelem.htm

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