¿Qué es el Álgebra Basada en Funciones?
El Álgebra Basada en Funciones va más allá del énfasis en las múltiples representaciones y modelos. Gran parte del álgebra tradicional que se enseña en las escuelas se centra en tres ideas fundamentales: equivalencia, igualdad (como una clase de comparación de funciones), y aspectos claves sobre funciones lineales. El Álgebra Basada en Funciones puede ayudar con estas tres.

Secciones

Introducción | Contexto | Tres Ideas Fundamentales de la Introducción al Álgebra | Disipando la Confusión de los Estudiantes | Aspectos de las Funciones Lineales y Modelación | Referencias | Vínculos Relacionados | Derechos de Autor

 

Introducción

La comprensión actual de lo que es un acercamiento del Álgebra Basada en Funciones debe expanderse más allá del mero énfasis de representaciones múltiples (por ejemplo, tablas, gráficas y expresiones) y modelación de relaciones covariantes. Los costos en computación que son cada vez más bajos permiten la posibilidad de una implementación a gran escala del álgebra basada en funciones, pero necesitamos clarificar la manera en la que este acercamiento permite el avance en el aprendizaje de las ideas fundamentales del álgebra para los estudiantes.

Contexto

La calculadora es una tecnología de costo razonable que por mucho tiempo ya ha sido reconocida por tener el potencial de alterar significativamente la organización de la enseñaza y el aprendizaje de conceptos algebráicos, sobresaltando las ideas de funciones. De hecho, una serie de acercamientos al Álgebra Basada en Funciones (ABF) se discuten en la literatura (para un panorama ver Kaput, 1995). Muchos de estos acercamientos, algunos todavía actuales, se desarrollaron a partir de esfuerzos ambiciosos de reorganizar las matemáticas escolares con un enfoque en la modelación.   En términos curriculares esto quiere decir que los acercamientos formales que definen a la función desde la teoría de conjuntos se remplazarían por un acercamiento que enfatiza a las funciones como un modelo de co-variación -i.e., cómo una variable se relaciona, o covaría, con otra variable. Las tecnologías en computación como la calculadora gráfica se han utilizado como apoyo significativo al flujo entre representaciones de funciones a través de símbolos, tablas y gráficas. De hecho, se ha llegado a tipificar lo que es el álgebra basada en funciones y el por qué se espera que el álgebra basada en funciones sea efectiva con los estudiantes, como una visión de dependencia funcional entre "representaciones múltiples" apoyadas en la tecnología, especialmente situadas en contextos "de la vida cotidiana".

Tres Ideas Fundamentales de la Introducción al Álgebra

Un acercamiento del álgebra basado en funciones tiene un potencial enorme para mejorar la comprensión de los alumnos de los aspectos estructurales en una introducción al álgebra. Desde una perspectiva del álgebra basada en funciones (ABF), dentro de un panorama curricular de un curso tradicional introductorio al álgebra, aproximadamente el 70% de los temas se centran en solamente tres ideas fundamentales. Estas tres ideas son: [1] equivalencia (de funciones), [2] igualdad (como un tipo de comparación de funciones), y [3] un acercamiento sistemático a las funciones lineales. Esta ABF se apoya en las ideas del álgebra basada en funciones de Schwartz y Yerushalmy (1992) (también ver Kline, 1945).  El objetivo es que el aprendizaje y la enseñanza de las ideas fundamentales del álgebra sean significativas para que los estudiantes sean exitosos en el recorrido curricular de matemáticas.  

Una gran ventaja de este enfoque estructural del ABF es que permite interpretaciones consistentes de equivalencia e igualdades de tal forma que los estudiantes las pueden utilizar para una comprensión profunda de las "reglas de simplificación" y las "reglas de resolución" típicamente presentadas al inicio curricular de un curso inicial de álgebra.  

[1] Equivalencia– Lo mismo en cualquier parte

Si la expresión x + x + 3 es equivalente a la expresión 2x + 3, entonces la función f(x) = x + x + 3 y la función (simplificada) g(x) = 2x + 3, cuando se asignan a Y1 y Y2, respectivamente, en la calculadora, tendrán gráficas coincidentes en cualquier parte. También tendrán los mismos pares ordenados para cualquier valor dentro del dominio que aparezca en tablas. Los estudiantes dirán que "las gráficas" están "una encima de la otra".

A pesar de que en forma simbólica las funciones Y1 = x + x + 3 y Y2 = 2x + 3 no son iguales, las representaciones múltiples que están disponibles en la calculadora gráfica permiten a los estudiantes confirmar que las gráficas y las tablas son iguales en cualquier parte. Una ventaja de esta visión de equivalencia desde el punto de vista del ABF está en apoyar la comprensión que los estudiantes tengan de las "reglas de simplificación" que se enseñan al principio de prácticamente cualquier plan de estudios de álgebra.

[2] Igualdad - Un Tipo de Comparación de Funciones

La idea de equivalencia de que dos funciones "son iguales en cualquier parte" se puede distinguir de la idea de igualdad como un tipo de comparación de funciones. La Igualdad está asociada con los valores de la variable independiente en los cuales las funciones dadas se intersectan (y > se asocia con la idea de que una función está "arriba" de otra, y < con la idea de que está por "debajo"). Este ABF puede ser particularmente útil para que el alumno pueda dar sentido a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como 2x = x + 3.

Utilizando una perspectiva del ABF, la solución a este sistema de ecuaciones responde a la pregunta "¿En dónde la función 2x es igual a la función x + 3?" Determinando en la calculadora gráfica que Y1 = 2x (la primera función) y que Y2 = x + 3 (la segunda función), los estudiantes comprenderán al ver las gráficas que la función f(x) = 2x y la función g(x) = x + 3 claramente no son equivalentes (no coinciden en todas partes).

Sin embargo, existe un valor de x para el cual estas funciones tendrán el mismo valor de y (los estudiantes dirán que hay un lugar en el cual las funciones son "iguales" o que "tienen el mismo valor"). La tabla muestra que el único lugar en el cual Y1 = Y2 se da cuando x es 3 (y donde el valor de y es 6 para ambas funciones).

Gráficamente, la igualdad se representa como la intersección, que es una forma bastante general y se extiende más allá de la comparación de funciones lineales. Por ejemplo, un un punto posterior dentro del plan curricular, se pide a los estudiantes que resulevan sistemas como -x^2 + 2x + 8 = x^2 – 4x + 4.  Dentro de la calculadora esto se puede representar determinando que Y1 sea la función de la "izquierda" y Y2 que sea la función de la "derecha":

Los estudiantes podrán ver que las funciones son "iguales" (intersectan) en "dos" lugares. Existen dos soluciones (valores de x en donde las gráficas intersectan) para este sistema (y posteriormente se pudede tener una discusión acerca del papel que las raíces y que la ecuación cuadrática puede tomar para encontrar estos valores de x).

Disipando la Confusión de los Estudiantes

Esta distinción entre equivalencia e igualdad es útil porque en un curso típico de álgebra (no basado en funciones), las "reglas de simplificación" de expresiones y las "reglas para resolución" de sistemas de ecuaciones se introducen casi al mismo tiempo dentro del plan curricular, y no nos debería sorprender que los estudiantes confundan las dos ideas. Por otro lado, los estudiantes sienten que no tienen forma de verificar sus resultados, salvo preguntando al profesor. Utilizando un ABF, apoyado en el uso combinado de gráficas, tabulación y una tecnología simbólica como la de la calculadora gráfica, permite a los estudiantes que de una forma sencilla "vean" la diferencia entre estas dieas. Pueden utilizar estas intuiciones para encontar sentido a la "agrupación de términos similares" y distinguirlo de la técnica de "hacer lo mismo en ambos lados". Esto también permite que los estudiantes puedan verificar sus propiso resultados, utlizando la tecnología, bien sea para simplificar o resolver los problemas.  

Para simplificar pueden realizar la siguiente pregunta: ¿La función simplificada es "igual" en cualquier lado a la función dada? Esto quiere decir que cuando a los estudiantes se les pide que simplifiquen la expresión (x + 2)(x - 3) pueden introducirla como función en Y1; y posteriormente en Y2 pueden introducir la expresión simplificada y verificar que sea igual a Y1 en cualquier lado. Si los estudiantes tienen cualquier error en la simplificación, entonces las funciones no serán iguales en todos los puntos.

Esta verificación la pueden hacer ellos mismos (sin necesidad de preguntarle al profesor). Si son exitosos en la simplificación, las gráficas (y las tablas) serán iguales en cualquier lado.

Los alumnos pueden confirmar por ellos mismos si fueron exitosos en la simplificación.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pueden preguntarse si sus intentos por "hacer lo mismo" a las funciones lineales "en ambos lados de la ecuación" preservó el conjunto solución (es decir, el valor de x en la intersección). Utilizando el ejemplo anterior, pueden dejar Y1 y Y2 como estaban. Posteriormente, cuando "resten lo mismo a ambos lados" (en este caso, restar "x") e introduzcan la nueva expresión del lado izquierdo en Y3, y la nueva expresión del lado derecho en Y4, pueden utilizar el comando de línea vertical (en el menú de Dibujo) de la calculadora gráfica (que se selecciona en el menú inicial) para ver si todas las funciones siguen teniendo la intersección en el mismo valor de x (donde x es 3).

No importa qué tan complicada pueda resultar la resolución (incluyendo el uso de cuadráticas presentado anteriormente), si son exitosos en "hacer lo mismo" a las funciones en ambos lados de la ecuación, entonces el nuevo par de funciones segurá teniendo la intersección en el mismo valor de x (o valores, en el caso de la cuadrática). Si los alumnos introducen un valor solución (3, para este caso) en el comando Vertical (por ejemplo, Vertical 3), esta línea vertical pasará por la intersección de los puntos para los pares ordenados de las funciones. De lo contrario, pueden concluir que no han realizado las mismas operacioens en ambos lados y que deben revisar su trabajo.

Habiendo ayudado a los estudiantes a distinguir y tomar sentido de estas dos ideas en el currículo de un curso inicial de álgebra es significativo e ilustra el poder del ABF para ayudar con los aspectos estructurales de la currícula de álgebra. Cabe mencionar que cuando la calculadora se utiliza de esta forma, la calculadora no piensa por los estudiantes. Es sólamente una herramienta que los ayuda a comprender qué están haciendo (por qué las "reglas" tienen sentido) y si fueron on no exitosos al resolver los problemas. Los estudiantes tienen que realizar las matemáticas por ellos mismos.

Aspectos de las Funciones Lineales y la Modelación

Por supuesto, una orientación a la modelación a través del ABF también puede ser de gran utilidad para apoyar a los alumnos a una mejor comprensión de la tercera idea fundamental que se utiliza en un curso de introducción al álgebra: el acercamiento sistemático a las funciones lineales. Existen una gran variedad de recursos disponibles. Por ejemplo, para acceder una revisión de los materiales basados en los estándares de la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, 1989, 2000) está el K-12 Mathematics Curriculum Center (Centro Curricular de Matemáticas para grados K-12), desarrollado con el apoyo de la NSF (National Science Foundation).  Puesto que el mundo real es complejo, muchos de los recursos orientados a la modelación integran el análisis de datos. Incluso, la mayoría de los libros de textos tradicionales tienen algunos ejemplos sobre el uso de funciones lineales para modelar fenómenos del mundo real. De esta forma, hay muchos recursos que los profesores pueden utilizar para hacer conexiones entre la modelación, el análisis de datos (especialmente utilizando regresión lineal) y la comprensión de la función lineal.

¿De qué forma ayuda un acercamiento a la modelación?

Una manera en la que la modelación ayuda en el estudio de funciones lineales es en la motivación. Cuando los estudiantes puden ver las conexiones entre las aplicaciones al mundo real pueden ver cómo y por qué el estudio de las matemáticas es algo útil. En segundo lugar, muchos exámenes estandarizados tienen algunas preguntas en las que se pude a los estudiantes que interpreten resultados en los que las funciones lineales se utilizan en contextos de modelación. Para responder satisfactoriamente a estas preguntas, los estudiantes deben estar familiarizados con el uso de funciones lineales para modelar asptectos del mundo que los rodea. En tercer lugar, muchos estudiantes tienen dificultades para entender que la pendiente está asociada con razón de cambio. Utilizando contextos del mundo real puede ayudar a los estudiantes a distinguir conceptos como razón de cambio (por ejemplo, la "m" en Y = mx + b) de otros conceptos, como el de cantidad (incluyendo la "b", o la ordenada al origen, en Y = mx + b). Esta comprensión, entonces, puede ayudar a los estudiantes a tener un mejor entendimiento de los formalismos asociados con el cálculo de la pendiente y de otros tópicos relacionados. La interpretación de gráficas complejas en donde la razón de cambio varía, tales como las que se producen con los sensores de movimiento (por ejemplo, el Calculator-Based Ranger de Texas Instruments o sensores similares como los Vernier Software and Technology o los LESA -Laboratorio Escolar de Sensores Automatizados- de la UNAM), están demostando ser particularmente útliles con el desarrollo en estudiantes de una mejor comprensión de razón de cambio, asociada con la "inclinación" de una línea, de tal forma que promueven que los estudiantes tengan un mejor entendimiento de la línea tangente (como una medida de la "inclinación"). La interpretación de gráficas complejas también empieza a promover el estudio de ideas importantes del cálculo diferencial e integral al que posteriormente se van a enfrentar los estudantes al continuar sus estudios.

Referencias

Kaput, J.J. (1995). A research base supporting longterm algebra reform? In D.T.Owens, M.K.Reed, & G.M.Millsaps (Eds.), Proceedings of the Seventeenth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 1, pp. 71–94). Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 389 539).

Klein, F. (1945).  Elementary mathematics from an advanced stand-point: Arithmetic, algebra, analysis. New York: Dover.

Schwartz, J. & Yerushalmy, M. (1992). Getting students to function in and with algebra. In G. Harel & E. Dubinsky (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy. MAA Notes, 25, (pp.261 - 289), Washington, DC: Mathematical Association of America.

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Autor: Walter M. Stroup

URL: http://generative.edb.utexas.edu/mexico/ABFTrans/EspFBA.htm

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